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Arithmétique modulaire et cryptologie.


La cryptologie, science des écritures secrètes, peut schématiquement être configurée de manière duale à l'aide du couple : cryptographie - cryptanalyse :
la cryptographie ayant pour objet la création de procédés techniques de codage les plus sûrs possibles,
la cryptanalyse, au contraire, cherchant à élaborer des protocoles mathématiques permettant de casser les cryptosystèmes.
La plupart de ces objectifs sont atteints grâce à la subtilité et l'élégance de l'arithmétique modulaire.
Cet ouvrage est issu d'un enseignement en mathématiques Spéciales MP* résultant à la fois d'un approfondissement en algèbre destiné aux candidats des ENS et d'une adaptation des mathématiques disponibles en Spé MP* aux techniques de codage et de décodage numériques.


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Arithmétique modulaire et cryptologie - Pierre Meunier

Arithmétique modulaire et cryptologie - Pierre Meunier

Pierre Meunier, "Arithmétique modulaire et cryptologie"
French | ISBN: 2854289544 | 2011 | 190 pages | PDF | 4 MB

La cryptologie, science des écritures secrètes, peut schématiquement être configurée de manière duale à l aide du couple : cryptographie cryptanalyse :
- la cryptographie ayant pour objet la création de procédés techniques de codage les plus sûrs possibles,
- la cryptanalyse, au contraire, cherchant à élaborer des protocoles mathématiques permettant de casser les cryptosystèmes.
La plupart de ces objectifs sont atteints grâce à la subtilité et l élégance de l arithmétique modulaire. Cet ouvrage est issu d un enseignement en mathématiques Spéciales MP* résultant à la fois d un approfondissement en algèbre destiné aux candidats des ENS et d une adaptation des mathématiques disponibles en Spé MP* aux techniques de codage et de décodage numériques.
Introduction
L arithmétique modulaire est, avant tout, la discipline mathématique dont l objet est l étude des anneaux ou des corps - le plus souvent finis -- obtenus par "réduction" à partir d un idéal I d un anneau commutatif A; l idéal I définit alors ce qu on appelle le modulo (ou parfois le modulus) à l aune duquel sont "regardés" les éléments de l an¬neau A; l ensemble ainsi "réduit", toujours noté A/I, porte le nom d ensemble quotient (algébrique) de l anneau A par son idéal I.
En pratique, ou bien A = E et I est du type nZ, ou bien A = [X], étant un corps (le plus souvent fini) et éventuellement, mais plus rarement, A = A'[X] où A' est un anneau fini, l idéal I étant toujours du type (P), c est-à-dire l idéal de A engendré par le polynôme P. A partir d un ensemble produit de l arithmétique modulaire usuelle, anneau E/(n) ou corps fini, on peut créer des sous-ensembles algébriquement très faciles à identifier, organisés en groupes cycliques, qui, à ce titre, relèvent également du concept modulaire (courbes elliptiques, surfaces de Frobénius, groupe des inversibles de Z/(n) lorsque n = pl, p premier...).
L intérêt de l arithmétique modulaire, telle qu elle vient d être exposée dans cette introduction, réside essentiellement dans le fait qu elle dispose et crée des ensembles finis, algébriquement très riches, pourvus de modes opératoires n ayant aucun ordre prévisible et, de ce fait, susceptibles de favoriser la création de mécanismes mathématiques de secret si nécessaires en cryptologie.
C est la raison pour laquelle sont réunies dans le même ouvrage l arithmétique mo¬dulaire et la cryptologie, étant entendu que cette discipline mathématique est abordée de façon élémentaire afin qu un taupin ou candidat aux concours (CAPES, Agrégation) puisse "y trouver son compte".
Table des matières :
Introduction
Chapitre 1 Notions préliminaires
Chapitre 2 Groupes, anneaux, corps
Chapitre 3 Arithmétique modulaire dans Z
Chapitre 4 Arithmétique modulaire dans K[X] où K est un corpsfini
Chapitre 5 Résidus quadratiques - Loi de réciprocité
Chapitre 6 Les nombres premiers
Chapitre 7 Arithmétique modulaire et cryptologie
Chapitre 8 Protocoles de signature et d identification numériques
Annexe A Cryptographie et surface de Frobénius
Postface


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Pierre Meunier, "Arithmétique modulaire et cryptologie"
French | ISBN: 2854289544 | 2011 | 190 pages | PDF | 4 MB

La cryptologie, science des écritures secrètes, peut schématiquement être configurée de manière duale à l aide du couple : cryptographie cryptanalyse :
- la cryptographie ayant pour objet la création de procédés techniques de codage les plus sûrs possibles,
- la cryptanalyse, au contraire, cherchant à élaborer des protocoles mathématiques permettant de casser les cryptosystèmes.
La plupart de ces objectifs sont atteints grâce à la subtilité et l élégance de l arithmétique modulaire. Cet ouvrage est issu d un enseignement en mathématiques Spéciales MP* résultant à la fois d un approfondissement en algèbre destiné aux candidats des ENS et d une adaptation des mathématiques disponibles en Spé MP* aux techniques de codage et de décodage numériques.
Introduction
L arithmétique modulaire est, avant tout, la discipline mathématique dont l objet est l étude des anneaux ou des corps - le plus souvent finis -- obtenus par "réduction" à partir d un idéal I d un anneau commutatif A; l idéal I définit alors ce qu on appelle le modulo (ou parfois le modulus) à l aune duquel sont "regardés" les éléments de l an¬neau A; l ensemble ainsi "réduit", toujours noté A/I, porte le nom d ensemble quotient (algébrique) de l anneau A par son idéal I.
En pratique, ou bien A = E et I est du type nZ, ou bien A = [X], étant un corps (le plus souvent fini) et éventuellement, mais plus rarement, A = A'[X] où A' est un anneau fini, l idéal I étant toujours du type (P), c est-à-dire l idéal de A engendré par le polynôme P. A partir d un ensemble produit de l arithmétique modulaire usuelle, anneau E/(n) ou corps fini, on peut créer des sous-ensembles algébriquement très faciles à identifier, organisés en groupes cycliques, qui, à ce titre, relèvent également du concept modulaire (courbes elliptiques, surfaces de Frobénius, groupe des inversibles de Z/(n) lorsque n = pl, p premier...).
L intérêt de l arithmétique modulaire, telle qu elle vient d être exposée dans cette introduction, réside essentiellement dans le fait qu elle dispose et crée des ensembles finis, algébriquement très riches, pourvus de modes opératoires n ayant aucun ordre prévisible et, de ce fait, susceptibles de favoriser la création de mécanismes mathématiques de secret si nécessaires en cryptologie.
C est la raison pour laquelle sont réunies dans le même ouvrage l arithmétique mo¬dulaire et la cryptologie, étant entendu que cette discipline mathématique est abordée de façon élémentaire afin qu un taupin ou candidat aux concours (CAPES, Agrégation) puisse "y trouver son compte".
Table des matières :
Introduction
Chapitre 1 Notions préliminaires
Chapitre 2 Groupes, anneaux, corps
Chapitre 3 Arithmétique modulaire dans Z
Chapitre 4 Arithmétique modulaire dans K[X] où K est un corpsfini
Chapitre 5 Résidus quadratiques - Loi de réciprocité
Chapitre 6 Les nombres premiers
Chapitre 7 Arithmétique modulaire et cryptologie
Chapitre 8 Protocoles de signature et d identification numériques
Annexe A Cryptographie et surface de Frobénius
Postface


Telecharger Arithmétique: Cours et exercices corrigés

Arithmétique: Cours et exercices corrigés

Arithmétique: Cours et exercices corrigés

Arithmétique: Cours et exercices corrigés
2011 | French | ISBN-10: 2100567268 | 192 pages | PDF | 104 MB

Ce cours d'arithmétique s'adresse aux étudiants en Licence de mathématiques. Les premiers chapitres rappellent les fondamentaux (divisibilité dans Z, congruence) et l'algèbre de base nécessaire (relations d'équivalence, ensembles quotients), avant de proposer ensuite un cours complet, solide, valable pour toute la Licence. L'ensemble est précis, structuré et illustré de nombreux exemples. Des exercices corrigés sont proposés en fin de chapitre.


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Du boulier à la révolution numérique : Algorithmes et arithmétique

Du boulier à la révolution numérique : Algorithmes et arithmétique

Du boulier à la révolution numérique : Algorithmes et arithmétique
Editeur: RBA France | 2013 | ISBN: 2823701117 | PDF | 148 pages | 102 Mb

De tout temps, l'homme a compté, additionné, multiplié et consigné ses résultats sur divers supports. Découvert au Congo dans les années 1960, l'os d'Ishango datant de 20000 ans avant Jésus-Christ en est l'une des premières preuves archéologiques. Et des papyrus égyptiens aux outils de calcul romains tels que l'abaque, des algorithmes arabes aux premiers calculateurs, les méthodes de calcul ont toujours été le reflet des technologies de leur époque et des formes de numération propres à chaque culture.
Un fabuleux voyage au coeur des algorithmes et de la numération qui, des premières traces écrites de nombres nous conduira à l'époque du calcul numérique et des langages de programmation où des outils de plus en plus puissants permettent de réaliser des calculs toujours plus complexes.


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Arithmétique pour amateurs - pythagore, euclide et toute la clique

Ce livre s'adressant avant tout à des amateurs éclairés (c'est-à-dire ayant fait une ou deux années d'études mathématiques après le baccalauréat). Il ne s'agit que d'une initiation à la théorie des nombres au cours de laquelle nous abordons (mais avec tous les détails souhaitables et sans rien admettre qui ne soit assuré quelques-unes des grandes questions qui ont agité et qui agitent encore les arithméticiens : les nombres premiers et leur diversité, les divers aspects de la notion de divisibilité, les sommes de carrés, le problème de Fermat et celui de Waring et jusqu'au théorème plus récent de Mordell-Weil. Pour examiner ces questions d'une manière progressive et sans douleur, nous avons choisi de suivre grosso modo une chronologie historique. Cette manière de faire ne constitue en fait qu'un fil conducteur commode (des esprits chagrins parleront même d'un prétexte), mais c'est cette idée qui nous a permis de diviser cet exposé en sept grandes parties, s'échelonnant de l'Antiquité au XXe siècle, parties que nous avons appelées des Livres sur le modèle d'Euclide et de Bourbaki... et qui constitueront autant de fascicules séparés. Malgré cela, il ne faudrait pas croire qu'il s'agit d'un ouvrage consacré à l'histoire de la théorie des nombres (ce qui dépasserait largement nos capacités limitées d'autodidacte) et nous n'hésiterons pas, par exemple, à décrire des résultats remontant à l'Antiquité, dans un langage moderne, faisant appel entre autres aux ressources de l'algèbre élémentaire dont la mise au point, on le sait, date essentiellement de l'époque de Descartes. Moyennant quoi, il ne fait pas de doute que la liste des sujets traités, telle qu'elle figure dans la table des matières, devrait mettre l'eau à la bouche de n'importe quel amateur potentiel de théorie des nombres... Voici donc le premier volume.


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Merveilleux nombres premiers - Voyage au coeur de l'arithmétique - Jean-Paul Delahaye

Merveilleux nombres premiers - Voyage au coeur de l'arithmétique - Jean-Paul Delahaye

Jean-Paul Delahaye, "Merveilleux nombres premiers - Voyage au coeur de l'arithmétique"

Un ouvrage accessible et illustré pour faire le point sur les connaissances actuelles sur les nombres premiers.
La première édition de cet ouvrage, publié en 2000, a connu un réel succès avec plus de 16 000 exemplaires vendus. Cette nouvelle édition a été actualisée et complétée par l auteur qui a intégré de nombreux résultats acquis au cours des dix dernières années sur ce sujet.

Rappelez-vous vos souvenirs de mathématiques : un nombre premier est un nombre qui n'admet aucun autre diviseur que lui... et pour commencer le nombre 1. Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, etc. Combien y en a-t-il ? Sans doute une infinité. Comment peut-on les trouver ? Divers algorithmes sont employés depuis trois siècles et l'on en est actuellement à chercher (par ordinateur interposé) des nombres premiers de 10 millions de chiffres décimaux. Mise à prix : 100 000 $ ! Autant dire que la formule générale permettant d'obtenir tous les nombres premiers n'a pas été trouvée, ce qui est heureux pour les spécialistes du cryptage informatique et des codes secrets : la plupart des systèmes de cryptographie reposent aujourd'hui sur l'usage des nombres premiers, et sur le fait qu'il n'existe aucun ordre décelable dans leur suite... ce qui reste encore à démontrer et suggère aux mathématiciens des réflexions de ce genre : "En observant les nombres premiers, on éprouve le sentiment d'être en présence d'un des plus inexplicables secrets de la création."


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Merveilleux nombres premiers- Voyage au coeur de l'arithmétique - Jean-Paul Delahaye

Merveilleux nombres premiers- Voyage au coeur de l'arithmétique - Jean-Paul Delahaye

Jean-Paul Delahaye, "Merveilleux nombres premiers- Voyage au coeur de l'arithmétique"
2000 | ISBN-10: 2842450175 | 336 pages | PDF | 156 MB

Un ouvrage accessible et illustré pour faire le point sur les connaissances actuelles sur les nombres premiers.
La première édition de cet ouvrage, publié en 2000, a connu un réel succès avec plus de 16 000 exemplaires vendus. Cette nouvelle édition a été actualisée et complétée par l auteur qui a intégré de nombreux résultats acquis au cours des dix dernières années sur ce sujet.


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Merveilleux nombres premiers. Voyage au coeur de l'arithmétique

Les nombres premiers, ces nombres sans autres facteurs qu'un et eux-mêmes, fascinent : 2, 3, 5, 7, 11, 13... Alors que leur définition semble ne receler aucun mystère, on échoue à trouver une régularité quelconque dans leur succession. Connus dès les débuts de l'arithmétique, les nombres premiers ont excité la curiosité de milliers de mathématiciens. Ils sont au c�ur de la science des nombres, car tout entier se décompose de façon unique en un produit de facteurs premiers. Ils sont aussi à l'origine de certains des problèmes les plus difficiles des mathématiques et ont acquis, avec les progrès de la cryptographie, une importance économique considérable. Dans cet ouvrage, l'auteur mêle éclaircissements théoriques et anecdotes piquantes, afin de restituer toutes les couleurs de l'univers chatoyant des nombres premiers.


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Électrostatique et électrocinétique 1re et 2e années - 2e éd. : Cours et exercices corrigés

Électrostatique et électrocinétique 1re et 2e années - 2e éd. : Cours et exercices corrigés

Émile Amzallag - Électrostatique et électrocinétique 1re et 2e années - 2e éd. : Cours et exercices corrigés
2006 | ASIN: B00TEE9EU0 | Français | 262 pages | PDF | 3.33 MB

Les ouvrages de la série Amzallag couvrent en 7 ouvrages, l'ensemble de la physique des premières années universitaires. Chaque chapitre débute par des rappels mettant l'accent sur les points fondamentaux du cours, illustrés d'exemples classiques (petits exercices d'application). Ensuite des exercices de difficulté croissante sont suivis de leur solution détaillée. En fin d'ouvrage, des problèmes d'examen constituant des épreuves de synthèse permettent à l'étudiant d'évaluer ses connaissances.





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